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帮助学生有效的学习是教师的天职。若要有效地帮助学生学习，就必须懂得和熟练运用学习规律。对于学习成绩不良的原因，教育心理学家经过长期的研究得出了一个影响学生成绩内部因素的公式：
A=F(IQ,M,K)
A 代表学生的成绩 （acheievment），IQ 代表智商水平， M 代表学习动机（motivation），K 代表原有知识（nowledge ）。该公式是说：学生的成绩高低与该生的智商分数、动机水平和原有知识的水平成函数关系。
在我们的教学实践中发现，大多数造成数学学习困难的因素为非智力因素。
我们依据众多寻求咨询和接受测试的学生的实际情况，对家长反映比较集中的一些问题进行了深入的研究与实验。现将部分结果公布如下，以供参考。 |
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问题：课堂作业能较好的完成，但遇到难度较高，综合性较强的题目，找
不到思路，下不了笔，试卷后面大题常常空白或不符题意。
某家长来电：平时作业都完成得很好，很多较难的题他一点就通，但你不
讲他就做不下去，一道题要花上好长时间。 |
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● 分析原因
① 在能够完成课堂作业的同学中通常会出现两种情况，一种学生初步理解了概念和规则，并在规则的指导下做题，做题是为了更深刻地理解概念和规则，此类学生在遇到难题时能够想出若干尝试的办法，而另一种学生其实没有从本质上理解概念或规则，在做作业时，仅仅是套用规则完成任务，也没有在例子的基础上进行抽象地思考。
② 家长或家庭教师在辅导学生的过程中乐于代劳审题，导致学生分析条件、寻找条件与问题之间的关系的能力没有得到发展，遇到条件稍微隐蔽的题目便无从下手。
③ 在分析较复杂的题目的过程中， 每个同学差不多都有过这样的经历： 一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？” 学生没有得到这方面的专门训练。
● 参考建议
① 设计仅依赖套用简单解题规则无法解决的题目来刺激学生深入思考。
② 在辅导时不要急于代劳，而是启发性地提示，专门进行审题而不是以解题为目标的训练。
③ 进行专门的“思路来源分析”训练。 |
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很多家长认为学生不会做题，是因为不会解题方法，因此，着重教导学生解题方法，但效果往往也并不明显，因为这样并没有从根本解决学生不会做题的问题。
学生需要的往往不是解某些题目的方法，因为方法多了，面对一道具体的题或者陌生的题时，根本无法知道该用什么方法。而是需要知道做这题为什么能想到某方法，怎样让自己想到这些方法。
因此，我们在教学中，不仅教导学生解题方法，更着重培养学生如何得到解题方法，使学生即使面对陌生的题目，也能分析出它的解题方法。以下举几个例子说明。
例 1 ：三角形 ABC 中 ,AB=AC,O 为图形内一点 , ∠ BAC=80 ° , ∠ OBC=10 ° , ∠OCB=20 ° , 求∠ CAO 的大小。
分析： 我是如何得到解题方法的：
从条件上看 ，题目条件都是角， AB=AC, 也和角能联系上，于是想到，从三角形的内角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度数。如：
尝试：
用方程思想求解，设∠ CAO 为 x ，但建立起来的方程都无法求解。但通过角的关系可以获得信息： OD=CD 从上面的尝试知道，只从角的角度，是无法求解∠ CAO 的大小，但通过前面尝试，发现了一些边相等，因此，可以想到求解的第二条思路：通过证明全等（或相似）证明要求的角，等于已知角。 于是想到挖掘题目中的隐含条件，容易发现∠ OBC=10 ° , ∠ OCB=20 °的值很 特殊 ，不像常见求值题目中给的都是特殊角，其含有隐含条件∠ OCB=2 ∠ OBC （几何题中常常将角的关系，通过具体值给出，给解题思路带来干扰）。所以，可作∠ OCB 的平分线，构造等腰三角形，将边和角联系起来。如图 2 ：
所以， BE=EC ，又 AB=AC ， AE 为公共边。所以  ；因此 AE=BE=CE ，由此知：∠ CAO 小于 4 0 °
猜想： (1) ∠ CAO=1 0 ° (2) ∠ CAO=2 0 ° (3) ∠ CAO=3 0 °
结合图形我们可以得最有可能的猜想： ∠ CAO=2 0 °。
易知  ，因此要证∠ CAO=2 0 °，只需证   ，因此有猜想获得了新的思路：证明 AE=AO。
在三角形内，证明两边相等，常见思路有：
思路 1 ：两条线段在同一个三角形内，可考虑证明这个三角形是等腰三角形。因此，这里我们尝试证明  AEO 是等腰三角形，这时，又转化到要证明   ，这正是我们要证明的结论，又走到老路上去了，显然这条路是行不通的。
思路 2 ：把两条线段放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等。而 AO 所在三角形有  ，  ，而 AE 所在  显然都不和他们全等，因此，考虑构造全等三角形。
如何构造呢？显然要作一个三角形，使其有一个角与  相等为 2 0 °，因此不难想作到  的平分线，交 BD 于 F 。这样，目标转化为证明 
容易得到  ，所以 AF=AD ， 
因而，要证明  只需再找一角相等或一边相等。
显然，如果找角相等又转回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一边相等，而 AE=AO 是要证明的结论， 因此，结论转化为证明： 
由于 FE 和 OD 不在同一个三角形内，无法用等角对对边定理来证明，且这时通过证明这两边所在三角形全等去证明也是行不通的。
结合前面的发现，图中有角平分线和相似三角形，获得新的思路：
通过比例转换去证明线段
由 AF 是  的平分线，所以  ，所以  = 
由  ，所以  =  ，
所以：  =  ，而 AE=CE, 所以 EF=CD=OD
所以问题得解。 |
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